الإنحراف المعياري هو ذلك القانون المستخدم بكثرة في الإحصاء، والذي ستخدم لقياس التشتت الإحصائي، وهو من أكثر قوانين التشتت دقة ووضوحًا، وذلك لأنه يتطلب إذخال جميع القيم التي يتطلب حساب مدى تشتتها، وليس قيمتين أو أكثر، والعمل على حسابها، وهنا تظهر قوة الانحراف المعياري عن مقاييس التشتت الأخرى، ويرمز إلى الإنحراف المعياري بالرمز الإغريقي (سيجما) ويتأثر الإنحراف المعياري بعدة عوامل منها القيم المتطرفة أو المتباعدة، ويرتبط أيضًا بالمتوسط الحسابي للقيم، ولكنه لا يتأثر بالتغيرات التي تظهر حديثًا على العينة، والإنحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، و هو أحد المقاييس الرئيسية التي يستخدمها مديري المحافظ والمخططون الماليون ومستشاري إدارة الثروات والمحللون داخل قطاع الخدمات المالية، ويعتبر الإنحراف المعياري في أبسط صوره هو متوسط مجموع جميع النقاط أو العينات داخل مجموعة معينة، والإنحراف المعيياري يساعد المتخصصين على معرفة ما إذا كانت البيانات تحتوي على علاقة رياضية أم لا كالمنحنيات وغيرها، ومن أهم استخدامات الإنحراف المعياري هو استخدامه بشكل كبير في كل عمليات الاستثمار والتجارة الكبيرة.
الإنحراف المعياري :
قانون الإنحراف المعياري بالعربي :
الإنحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
التباين = ( مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ) ÷ ( عدد القيم – 1).
إذن فإنه يعتمد على التباين ولكي يتم توضيح القانون بشكل أوضح دعونا نتطرق إلى كيفية قياس الإنحراف المعياري.
قياس الإنحراف المعياري :
لكي تتم عملية حساب أو قياسه يجب متابعة هذه الخطوات:
- إيجاد القيم التي نريد حساب المعياري لها.
- جمع كل القيم وقسمتها على نفس عددها وذلك لإيجاد ما يسمى بالمتوسط الحسابي.
- يتم تربيع إنحراف كل قيمة من القيم الموجودة على حدا، ثم نقوم بجمع هذه المربعات.
- نقوم بإيجاد الإنحراف المعياري من خلال الجذر التربيعي لـ ( مجموع المربعات) ÷ ( عدد القيم – 1).
حساب الإنحراف المعياري بالآلة الحاسبة :
لكي يتم حسابه بالآلة الحاسبة يجب إتباع الخطوات السابقة في عملية القياس ولكن بدلًا من الجمع والقسمة سوف نستخدم الآلة الحاسبة لتسهيل عملية إيجاده ويتضح ذلك في هذا المثال:
إذا كان هناك بعض القيم ( 2 ، 3 ، 4 ، 5، 6 ، 7، 8 )، ونريد حساب انحرافها المعياري بالحاسبة نقوم بــ
أولًا جمع القيم السابقة وقسمتها على عددها لإيجاد المتوسط
المتوسط الحسابي للقيم = ( 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ) ÷ 7
= (35 ) ÷ 7 = 5
ثانيًا توضيح انحرافات جميع القيم عن وسطها وتربيعها كالتالي
القيمة 2 وانحراف القيمة عن المتوسط 5 -2 = 3 وتربيعها 9
القيمة 3 وانحراف القيمة عن المتوسط 5 – 3 = 2 وتربيعها 4
القيمة 4 وانحراف القيمة عن المتوسط 5-4 = 1 وتربيعها 1
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط 5 – 5 = 0 وتربيعها 0
القيمة 6 وانحراف القيمة عن المتوسط 6- 5 = 1 وتربيعها 1
القيمة 7 وانحراف القيمة عن المتوسط 7 -5 = 2 وتربيعها 4
القيمة 8 وانحراف القيمة عن المتوسط 8- 5 =3 وتربيعها 9
ثالثًا نقوم بجمع القيم السابقة (9 + 4 + 1+ 0+ 1 +4+ 9) =28.
رابعًا نطبق قانون الإنحراف المعياري وهو
= ( مجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط )( ÷ ) (عدد القيم – 1)
= الجذر التربيعي لــ (28 ) ( ÷ ) ( 7 – 1 ) = 4.6666
= باستخدام الحاسبة سيكون الجذر التربيعي للقيمة السابقة 2.16 .
الإنحراف المعياري للبيانات المبوبة :
أولًا قبل معرفة قانون حسابه في حالات البيانات المبوبة لا بد من معرفة قانون التباين وهو
أما قانون الإنحراف المعياري هو
حيث أن الرمز f هو عدد التكرارات، والرمز x هو عدد الفئات.
هل يوجد إنحراف معياري للقيم المتشابهة ؟
لا يوجد إنحراف معيياري للقيم المتشابهة وذلك لأنه يوضح مدى التشتت بين القيم وبعضها البعض ولتوضيح ذلك نقرأ المثال التالي:
مثال:
إذا كان يتواجد أربع قيم ولتكن تعبر عن درجات طلاب في مدرسة مثلًا وهذه القيم متساوية وهي ( 5، 5، 5، 5، ).
المتوسط الحسابي = (5 + 5 + 5 + 5 ) ÷ 4
= 20 ÷ 4 = 5
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط 5- 5 = 0 وتربيعها 0
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط 5- 5 = 0 وتربيعها 0
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط 5- 5 = 0 وتربيعها 0
القيمة 5 وانحراف القيمة عن المتوسط 5- 5= 0 وتربيعها 0
مجموع المربعات = ( 0 + 0+ 0 + 0 ) = صفر
إذن الإنحراف المعياري = الجذر التربيعي للصفر = صفر
ويتضح من هذا المثال عدم وجود إنحراف معيياري للقيم المتشابهة.
