الموسوعة العربية

ابحث عن أي موضوع يهمك

بحث عن فضاء العينة

بواسطة: نشر في: 20 أغسطس، 2020
mosoah
بحث عن فضاء العينة

نُقدم إليك عزيزي القارئ من خلال موقع موسوعة بحث عن فضاء العينة Sample space ، وهو يتضمن عدد من العناصر التي تُشير إلى كافة النتائج المحتمل الوصول إليها عن طريق التجارب العشوائية المختلفة التي يتم دراستها.

تظهر تلك النتائج المحتملة للشخص عند إجرائه لتجارب عشوائية تُشكل ما يُعرف بفضاء العينة، وتكون التجربة على الأشياء المختلفة، ومنها المتداول والمنتشر حولنا مثل العملة المعدنية، وحجر النرد، فهم أكثر الأمثلة وضوحاً.

ولكن بإمكاننا أيضاً أن نُجري التجارب على الأشياء والظواهر الأخرى الحقيقية منها احتمالات الفوز بمباراة، إجراء إحصائيات وإستبيانات مُحددة، وغير ذلك.

وبشكل عام نجد أن النتائج التي نحصل عليها تكون ملحوظة، وربما نُخمن النتيجة ولكن لا نعرفها سوى عند رؤيتها أمامنا، وإجراء التجربة امام أعيننا.

وهناك الكثير من الأمثلة التي سنعرضها إليك خلال السطور التالية، مع طرح المعلومات المختلفة عن فضاء العينة، وكل ما يتعلق بها، فقط عليك متابعتنا.

بحث عن فضاء العينة

مفاهيم الاحتمال

تتضمن التجربة العشوائية، وفضاء العينة، والحدث بأنواعه المختلفة، وسنشرحهم إليك عبر النقاط الآتية:-

التجربة العشوائية

ويُطلق عليها باللغة الإنجليزية RANDOM SAMPLING، وهي كل إجراء يقوم به الفرد ويكون على دراية جيدة بكافة المكونات الخاصة به، ولكنه لا يعرف أي مكون سيقع، ويتم تعريفها أيضاً على أنها تلك العمليات التي تُعطي قياس مُحدد لإحدى الظواهر، ويُسمى بالتجربة الإحصائية في علم الإحصاء.

مثال:-

عند إلقاء قطعة نقود معدنية لمرة واحدة سنجد أن لديها عنصرين هم الصورة والكتابة، فاحتمال أن تظهر الصورة يساوي احتمال ظهور الكتابة فليس هناك احتمالات أخرى.

وبالتالي نجد عناصر المجموعة{صورة، كتابة}.

تعريف فضاء العينة

  • هي تلك المجموعة التي يحصل عليها الفرد حينما يكون هناك نتائج محتملة عن طريق إجراء تجربة عشوائية، ويطلق عليه فضاء النواتج، وهذا الفرع يتواجد في علم الإحصاء التابع لمجال الرياضيات.
  • وفي مفهوم أخر يُشير إلى تلك المُشاهدات التي تظهر حينما يكون هناك تجربة مُعينة، ورمزه يكون S، أما رمز n(s) فيُطلق على مجموعة عناصر فضاء العينة.
  • ويُمكن استخدام فضاء العينة في الاحتمالات الوراثية، وأيضاً هناك أمثلة أخرى يُمكننا أن نفهم منها فضاء العينة وكيفية إجراءه وسنوضحها إليك خلال النقاط الآتية.

مثال1

  • في حالة وجود مباراة كرة قدم بين فريقين أ، وب، نجد أن النتيجة ستكون أما لصالح الفريق أ ، أو فوز فريق ب، وربما يتعادل الفريقين، فهنا النتيجة سيكون لها ثلاث احتمالات فقط، وبالتالي تنحصر النتيجة بمجموعة يُطلق عليها فضاء العينة، ويُعطى لها رمز ف.
  • وحينها توضع النتيجة بين قوسين مجموعة، وبين كل عنصر وأخر يوضع علامة الفصلة (،).

مثال2

في حالة إلقاء حجر نرد لـ 20 مرة فمن المتوقع أن تكون عدد النقاط المحتملة في كل مرة من بين الأرقام الآتية:- 1،2،3،4،5،6.

مثال 3

  • سلة موجود بها خمس تفاحات وثلاثة حبات برتقال فهنا يكون فضاء العنية لهذه التجربة كالآتي:-
  • { تفاحة1، ت2 ، ت3، ت4، ت5، برتقالة1، ب2، ب3}.

مثال 4

نتيجة الاستفتاء على تعديلات دستورية ستكون مجموعة العناصر الخاصة بها كالآتي:-

{نعم، لا، تعادل، أصوات باطلة}.

مثال 5

في حالة اختيار 200 ناخب، من إجمالي عدد الناخبين داخل إحدى البلاد، وسؤالهم عن الأشخاص الذين قاموا بانتخابهم، فهنا سنجد أن فضاء العينة يتكون من إجابات الناخبين في الانتخابات، والمجموعة الجزئية المختارة بفضاء العينة يُطلق عليها أحداثاً.

مفهوم الحدث وانواعه

  • من ضمن مفاهيم الاحتمال هو الحدث event ، ومعناه العناصر الجزئية من فضاء العينة، كما أشرنا سلفاً..
  • وهذه الأحداث ترتبط بالصيغة 2ن.
  • وهنا رمز الـ ن يُشير إلى عدد العناصر التابعين لفضاء العينة.
  • أما احتمالية وقوع الأحداث فُيرمز لها بحرف الـ A، وهو يُشير إلى عدد الحالات التي يقع فيها الحدث بالفعل بالنسبة لكافة الحالات المُحتمل وقوعها.
  • ويُمكن أن نوضح هذا الأمر من خلال المُعادلة الآتية:-  P(A) = M ÷ N
  • وهنا N يُشير إلى عدد الحالات الممكن وقوعها.
  • أما M فترمز إلى عدد حالات وقوع A التي حدثت فعلياً.

مثال

عند إلقاء حجر النرد لمرة واحدة فإن احتمال ظهور رقم فردي هو  0.5، فالأعداد الفردية ثلاثة وهم 1،3،5 من أصل ستة أرقام موجودين بحجر النرد وعددهم ستة، وهنا الاحتمال 3 ÷ 6 = 0.5.

أنواع الأحداث

الحدث البسيط Simple Event

  • وهو ذلك الحدث الذي يتكون من عنصر واحد وفقط،
  • مثال: ظهور رقم1 عند رمي حجر النرد.

الحدث المركب Compound event

وهو الذي يتضمن أكثر من عنصر، كحدث الأعداد الزوجية {6،4،2} وظهورها عند إلقاء حجر النرد.

الحدث المؤكد

  • وهو الحدث الذي يتضمن كافة عناصر فضاء العينة.
  • مثال: ظهور الصورة أو الكتابة عند إلقاء قطعة النقود المعدنية، أو أي رقم أقل من 7 عند رمي حجر النرد.

الحدثان المستقلان Independent events

  • وهم حدثين لا يتأثران ببعضهم، فإذا وقع أحدهم فالأخر لا يتأثر بوقوعه من عدمه، وهناك قاعدة يُمكننا أن نُعممها على حدثين وهي P(A ∩ B) = P(B) × P(A).
  • وهناك قاعدة أخرى يُمكن الإستعانة بها في حالة وجود أكثر من حدثين وهي كالآتي:-
  • P(A ∩ B ∩ C ∩…∩ Z) = P(A)×P(B) ×P(C)×…× P(Z).

الحدث المستحيل

وهو الحدث الذي لا يشتمل على أي عنصر، أي من المستحيل وقوعه، مثال ظهور رقم 7 عند رمي حجر النرد.

الأحداث المُكملة Complementary events

وهم الحدثان الذي يكون إتحادهم مُساوياً لفضاء العينة، أي أن Aحدث وA`الحدث المكمل حيث A υ`A = S.

الأحداث المنتظمة dependent events

وهي كافة الأحداث التي تتساوى في إحتمالية حدوثها، كمثال إلقاء حجر النرد لمرة واحدة ففي هذه التجربة نرى الآتي:-

P(1)= P(2)= P(3)=P(4)= P(5)= P(6)= 1:6

الأحداث الغير مستقلة (المشروطة)

وهم حدثين يوثر وقوع أحدهم على الحدث الأخر.

مثال على ذلك أوراق الكوتشينة فعددهم 52 ورقة وعند سحب ورقة واحدة منهم فهنا يتأثر اللعب، لأن سحب أي ورقة أخرى جديدة يُقلل من الفرص ، وتقل أكثر فاكثر عند السحب لعدد من المرات المتتالية.

ومثال أخر عندما يكون لدينا حدثين هم A و B فهنا نكتب أن وقوع الحدث A يكون بشرط وقوع الحدث B وهنا تكون القاعدة كالآتي:-

                  P(A ∩ B) 

                P(A / B) = ـــــــــــــــــــــــــ , P(B) ¹ 0

                P(B)

.P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B)  -:أو القانون التالي

 

ونجد هنا أن P(A / B) معناها إحتمال وقوع الحدث A ولكن الشرط هو وقوع الحدث B.

أما إذا كان الحدثين مُستقلان عن بعضهم، ولا يتأثر أي منهم بالأخر فهنا يكون القانون كالآتي: P(A ∩ B) = P(B) × P(A).

الحدثان المتنافيان Mutually Exclusive events

ويُطلق عليها الأحداث الغير متصلة، وهم حدثين لا يتشاركون بأي عنصر، وتقاطعهم يكون مجموعة خالية.

ويُمكن أن نفهم هذا الأمر من خلال هذه المُعادلة A ∩ B = f ، مثال {2}، أو {3}.

الأحداث الشاملة Exhaustive events

في حالة أن S هو فضاء عينة فهنا يُمكننا أن نقول أن الأحداث أ، ب، ج تكون شاملة عند تحقق هذه الشروط:-

  • إتحادها يُعادل S أي S = ج υ ب υ أ
  • لا تكون واحدة منهم خالية ومعناها F≠أ ، و F≠ب و F≠ج.
  • متنافية فيما بينها، ومعناها f = ب∩ج ، f = ج∩ أ،  f=ب∩ أ.

أنواع فضاء العينة

فضاء العينة (فراغ)

وهي تلك النتائج التي تظهر لنا نتيجة إجراء مجموعة من التجارب العشوائية، كما أشرنا سابقاً، ونجد أن نقطة العينة تُمثل أي نتيجة من تلك التي تظهر بشكل عشوائي، أي تكون إحدى العناصر الخاصة بفضاء العينة S.

مثال1

عند إلقاء قطعة نقود معدنية لمرة واحدة فهنا يكون هنا احتمالين فقط إما رؤية الكتابة، أو الصورة.

فضاء عينة غير متجانس (غير مُتماثل)

  • يُسمى فضاء الاحتمالات الغير متماثل أو الغير مُتجانس ورمزه U.
  • في حالة أن احتمالات الأحداث البسيطة الخاصة بفضاء العينة غير متساوية، فهنا يتم تقسيم فضاء العينة N إلى مجموعة من الأحداث المبسطة، وبالتالي نجد أن كل اثنين يكونان أغراب عن بعضهم، ويتحقق هذا الأمر وفقاً لهذه المعادلة  A1 υ A2 υ….. υ An= U، وبالتالي فاتحاد هذه العناصر يعتبر فضاء العينة كله، ويتم تحقيقه بشكل متساوي.

فضاء عينة متجانس (متماثل)

  • يُطلق عليه فضاء الاحتمالات المتماثل(المتجانس)، ويرمز له بالرمز U، فتكون احتمالات وقوع كافة الإحداث البسيطة متساوية.
  • وبالتالي نجد أن فضاء العينة n ، يكون له مجموعة من الأحداث البسيطة، وبالتالي يكون احتمال كل واحد منهم كالتالي: p=1/n

الاحتمال الشرطي

  • في حالة وجود حادثين هما أ ، وب وكان P(B) قيمته لا تتساوى مع الصفر.
  • فهنا يكون مُعادلة الاحتمال الشرطي لـ أ عند وقوع الحادث ب كالآتي:-  P (A/B) = P
  • ومن هنا نفهم أن الاحتمال الشرطي للحدث أ إذا وقع الحدث ب، يُعادل حاصل قسمة الإحتمال المركب أ ، وب على إحتمال وقوع الحادث ب.
  • ففي نهاية الأمر نجد أن فضاء العينة أمثلته كثيرة ومنها يكون غير متناهي العدد، ولكن هناك أمثلة أخرى يكون لها نتائج مُحددة، فيُمكن للباحث أن يستخدمها في الإحصائيات التي يتم الاستعانة بها في الأبحاث المختلفة، والتجارب البحثية المتنوعة، أو غيرهم.

فضاء العينة لرمي قطعة نقود أربع مرات

في هذه الحالة يتضمن فضاء العينة 8عناصر، ويكون هناك الكثير من الاحتمالات المختلفة فقد تظهر الكتابة أربعة مرات، والصورة أربعة مرات، وربما تظهر الكتابة مرة واحدة والصورة سبعة مرات، أو العكس، وقد تظهر الصورة مرتين، والشعار ستة مرات، أو العكس، وغيرها من الاحتمالات الآخرى.

وبعد إتمام الشرح عليك أن تتطلع على هذه الرسمة التي توضح الأحداث المختلفة بشكل بسيط.

بحث عن فضاء العينة

يُسمى التمثيل البياني الخاص بالأحداث داخل فضاء العينة باسم مخطط فان، ويتم الإستعانة به لمعرفة تصورات التركيبات المختلفة للأحداث سوء التقاطع، أو غيره، وهو كالآتي:-

بحث عن فضاء العينة

وإلى هنا ينتهي مقالنا لهذا اليوم، وتحدثنا من خلاله عن فضاء العينة، ومفهوم الحدث وأنواعه، وأيضاً تعريف الإحتمال، فنتمنى أن تكون المعلومات أفادتك، ونتركك الآن في أمان الله ورعياته.