شرح حجم المنشور الرباعي

في علم الهندسة كثيرا ما نقابل سؤال يكون على هيئة احسب حجم المنشور الرباعي، وهنا يأتي السؤال ما هو القانون المستخدم في حساب حجمه ؟ وماهي خطوات الحل ؟

مفهوم المنشور الرباعي

• هو أحد الأشكال الهندسية والمجسمات التي تشغل حيزًا من الفراغ، وهو يمتلك ستة أوجه وثمانية رؤوس، أحدهما على شكل مربع متطابقان ومتقابلان كما أنهما متوازيان، وهما قاعدتي المنشور الرباعي.
• وله أربع أوجه أخرى تكون جانبية وعلى شكل متوازي أضلاع، تتقاطع تلك الأوجه عبر عدة مستقيمات اسمها أحرف جانبية وهو يمتلك اثنا عشر حرف.
• ولهذا المنشور ارتفاع عبارة عن البعد بين القاعدتين، نستطيع حساب الأسطح الجانبية للمنشور من خلال إيجاد حاصل الجمع لكل الأوجه الجانبية .
• وجميع أسطح المنشور سواء الجانبية أو القاعدتين هي أسطح مستوية.
• ولقد سُمي المنشور الرباعي بهذا الاسم نظرًا لأن قاعدته تمتلك 4 أضلاع وبالتالي تأخذ شكل المربع، كما سُمي بهذا الاسم لأنه يمتلك 4 أوجه جانبية.

أنواع المنشور

• للمنشور أشكال وأنواع عديده تسمى بناء على عدد أضلاع القاعدة وشكلها، على سبيل المثال : المنشور الثلاثي قاعدته لها ثلاث أضلع، والمنشور الخماسي قاعدته تمتلك خمس أضلاع، والمنشور الرباعي قاعدته تمتلك أربع أضلاع، ومتوازي المستطيلات الذي له ستة أوجه وكل وجه يشكل مستطيل له ثلاثة أبعاد إذا تساوت فيتحول إلى مكعب، وقاعدتيه مستطيلتين وأيضا متوازيتين ويسمى أيضا بمتوازي السطوح.
• كما ينقسم المنشور إلى نوعين حسب شكل قاعدته، فهناك المنشور المنتظم الذي يمتلك قاعدتين مضلعتين منتظمتين، وهناك المنشور الغير منتظم والذي يمتلك قاعدتين لهما شكل مضلع غير منتظم.
• وينقسم المنشور أيضًا إلى نوعين طبقًا لزاوية حرفه الجانبي، فهناك المنشور القائم وهو الذي تتعامد فيه الأسطح الجانبية على قاعدتيه، وكل سطح من أسطحه الجانبية على شكل مستطيل، وهناك المنشور المنحني وفيه يلتقي قاعدتيه مع الأسطح الجانبية له بزوايا ليست قائمة، وكل سطح من أسطحه الجانبية يتخذ شكل متوازي الأضلاع.

قانون حساب حجم المنشور الرباعي

نستطيع حساب حجم أي منشور رباعي مكن خلال التعويض في القانون التالي :

• الحجم ( ح )= الطول × العرض × الارتفاع .
• الحجم = مجموع القاعدتين × ارتفاع المنشور.

خطوات الحل لحساب الحجم

حتى تتمكن من حساب حجم المنشور الرباعي كل ما عليك فعله هو اتباع الخطوات التالية.

1. أولا نكتب القانون الذي سوف يُستخدم في حساب حجم المنشور الرباعي وهو : الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
2. ثانيا نحسب الأبعاد الثلاثة لذلك المنشور وهما : الطول، والعرض، والارتفاع .
3. ثالثا نقوم بالتعويض في صيغة القانون، وإيجاد حاصل الضرب للأبعاد الثلاثة .

وبهذه الطريقة نحصل على الحجم ، وحتى نتأكد من إمكانيتنا على حل كافة المسائل التي من تذكر المنشور الرباعي، وتطلب حجمه، سنعمل على عرض مثال أو مثالين بسيطين، كنوع من التطبيق على القانون فيم يلي.

مثال 1 :

إذا كانت أبعاد المنشور الرباعي هي 10 سم، 7 سم، 4 سم، الطول، العرض والارتفاع، على التوالي بنفس الترتيب، فماذا سيكون حجم ذلك المنشور ؟

الحل :

• أول خطوات الحل نكتب القانون الذي يستخدم في حساب حجم المنشور الرباعي كالتالي : الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
• وبما أن الطول = 10 سم، والعرض = 7 سم، والارتفاع = 4 سم .
• وبالتعويض بتلك المعطيات في القانون نحصل على حجم المنشور الرباعي = 10 × 7 × 4 = 280 سم³ 

مثال 2 :

منشور رباعي طوله ٥سم وعرضه ٣سم وارتفاعه ٢سم احسب حجمه

الحل :

• نقوم بكتابة صياغة القانون الذي سوف يستخدم في حساب حجم المنشور الرباعي وهو : الحجم = الطول × العرض × الارتفاع .
• ومن المعطيات نرى أن أبعاده الثلاثة هما: طوله = 5 سم، وعرضه = 3 سم، وارتفاعه = 2 سم .
• الآن نقوم بالتعويض في القانون لكي نحسب حجم المنشور الرباعي = 5 × 3 × 2 = 30 سم³ 

حجم منشور رباعي طوله 5 وعرضه 4 وارتفاعه 10 هو

• في هذه الحالة يكون حجم المنشور هو:   5 × 4 × 10 = 200 سم^{3 .}

مساحة سطح المنشور الرباعي

مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة

• لمعرفة مساحة سطح المنشور الرباعي يتم جمع مساحة القاعدتين مع المساحة الجانبية للمنشور (وهي مساحة أوجهه الـ 4 الجانبية).
• إذا كان المنشور الرباعي يمتلك قاعدة مربعة الشكل، فيتم حساب مساحة سطحه عن طريق حساب مساحة أوجهه الجانبية من خلال الاستعانة بقانون مساحة المستطيل وهو الطول x العرض.
• وفي المنشور فإن عرض المستطيل هو طول قاعدته، أما طول المستطيل فهو ارتفاع المنشور.
• وعلى هذا فإن المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة هي: ارتفاع المنشور x طول ضلع القاعدة 4x ( وهي عدد أوجه المنشور).
• وهناك طريقة أخرى لإيجاد المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة وهي ضرب ارتفاعه في محيط القاعدة، أي طول ضلع القاعدة 4x ( وهي عدد أضلاع القاعدة الرباعية).
• وعلى هذا فإن المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي يمتلك قاعدة مربعة هي: محيط القاعدة المربعة x الارتفاع+ 2 x مساحة القاعدة المربعة.
• أما عن قانون المساحة الكلية للمنشور الرباعي ذو أوجه وقاعدة مربعة (المكعب) فهو: 6×طول ضلع المكعب2.
• مثال: إذا كان هناك منشور رباعي ذو قاعدة مربعة ارتفاعه 9 سم وطول ضلع قاعدته 5 سم، فما هي مساحته الكلية؟
• الحل: يتم إيجاد محيط القاعدة بضرب طول ضلعها في 4، أي 5 × 4 = 20 سم، ثم إيجاد مساحتها من خلال ضرب طول الضلع في نفسه، أي 5 × 5 = 25 سم² .
• وبالتالي يتم حساب مساحة المنشور الرباعي بتطبيق المعادلة التالية: محيط القاعدة x الارتفاع+ 2 x مساحة القاعدة، لتكون المعادلة كالتالي: 20 × 9 + 2  25x.
• لتصبح مساحة المنشور= 230 سم².

مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة

• أما إذا كان المنشور الرباعي يمتلك قاعدة مستطيلة، فيتم حساب مساحته الكلية بالمعادلة التالية: (الطول x العرض) 2x+ (الطول x الارتفاع) 2x+ (العرض x الارتفاع) 2x.
• مثال: إذا كان هناك متوازي مستطيلات طوله 15 سم وعرضه 9 وارتفاعه 8، فما هي مساحة المتوازي؟
• الحل: يتم أولًا إيجاد مساحة القاعدة العلوية وهي الطول x العرض، أي 15 × 9 = 135 سم^2.
• وبتطبيق المعادلة السابقة فيتم إيجاد حساب المساحة الكلية من خلال ما يلي: (15 9x ) 2x (15×8) +2x (8×9)+ 2x= 654.
• وبطرح مساحة القاعدة العلوية من الناتج: 654- 135= 519 سم².
• لتكون مساحة سطح المنشور هي: 519 سم².

حجم المنشور الثلاثي

توجد أنواع مختلفة من المنشور الثلاثي، والتي من بينها المنشور الثلاثي القائم، والمنشور الثلاثي الطبيعي، وفي حالة المنشور الثلاثي تعد القاعدة العامة للحصول على مساحة سطح أي منشور ثلاثي، فيكون لديه 3 أوجه مستطيلة، ووجهين فقط مثلثين، الأمر الذي يجعل من الأمر الهام أن نأتي بمساحة المستطيل والمثلث، ثم نقوم بضرب تلك المساحات في عدد الأوجه، ثم نقوم بجمع مساحات كل الأسطح معاً، وتحتوي المعادلات الخاصة بحساب مساحة المنشور الثلاثي القائم الخطوات التالية.

• مساحة المستطيل = الطول× العرض
• مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع
• في حالة إذا ما كان المثلث متساوي الأضلاع، فنقوم بضرب مساحة المستطيل الواحد في 3 أوجه، لأن كل مساحات المستطيلات الثلاثة متساوية في تلك الحالة.
• أما في حالة إذا كان المثلث متساوي الساقين أو مختلف أطوال الأضلاع، نقوم بالاتيان بمساحة كل مستطيل على حدة ثم نقوم بجمعهم.

القاعدة العامة لحساب مساحة المنشور الثلاثي القائم هي: الارتفاع (مجموع أطوال أضلاع المثلث)+ 2× مساحة المثلث، ويمكننا عرض تنفيذ تلك القاعدة عن طريق مثال بسيط، وهي كما يلي.

• ما هو حجم المنشور الثلاثي قائم الزاوية، والذي يصل ارتفاعه إلى 10 سنتيمتر، ويبلغ طول قاعدته 7 سنتيمتر ويبلغ ارتفاع المثلث 5 سنتيمتر؟
  • أولاً نقوم بإيجاد مساحة المثلث، وذلك عن طريق القانون الخاصة بمساحة المثلث، وهي كما يلي: 0.5× طول القاعدة × الارتفاع.
  • مساحة المثلث = 0.5× 5×7= 17.5 سنتيمتر مربع.
  • ثم نقوم بتحديد ارتفاع المنشور كاملاً، وليس الارتفاع الخاص بقاعدة المثلث، وهو الذي تم تحديده في السؤال بطول 10 سمنتيمتر.
  • ثم نقوم بضرب مساحة القاعدة أو المثلث في طول الارتفاع، وذلك عن طريق استخدام حجم صيغة المنشور الثلاثي.
  • فيكون حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • = 10×17.5= 175 سنتيمتر مكعب.

أسئلة شائعة

• أسماء الله الحسنى
• أذكار الصباح
• حساب العمر