الموسوعة العربية

ابحث عن أي موضوع يهمك

بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات

بواسطة: نشر في: 1 نوفمبر، 2021
mosoah
بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات

تقوم المدارس بتطبيق بعض المواد الدراسية المختلفة على الطلاب خلال فترة الدراسة لتكون لدى الطلاب حصيلة لا بأس بها من المعرفة والعلوم والمختلفة، والبعض من الطلاب يميل إلى مواد معينة يفضلها على المواد الأخرى، ومنها مادة الرياضيات يتفاوت الطلاب في تفضيلها، منهم من يهتم بها و يتخصص فيها في مرحلة الثانوية العامة، ونحن هنا أمام بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات وسنقوم بالتعرف عليه أكثر من خلال الموسوعة .

بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات

يعتبر الضرب الداخلي في الرياضيات من العمليات الرياضية التي تندرج تحتها كثيرًا من التفريعات، لأنه بمفهومه العام يطبق بأكثر من طريقة.

  • يستخدم الضرب الداخلي بين متجهين، لإيجاد طول المتجه، و الزاوية بين متجهين.
  • يطبق الضرب الداخلي على القوانين الحسابية في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويطبق في حساب بعض القوانين الفيزيائية.
  • يمكن تطبيق قانون الضرب الداخلي أيضا في معرفة الشغل المبذول والطاقة المغناطيسية.
  • هناك اختلاف بين الضرب العادي المتعارف عليه في أول المراحل الابتدائية، وبين الضرب الداخلي.
  • الضرب العادي يكون بين الأعداد، أما الضرب الداخلي يكون بين المتجهات، والمتجهات يرمز لها بالرمز (س، ص).
  • عادة ما يتم تطبيق الضرب الداخلي في قسم الجبر الخاص بمادة الرياضيات.

الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي

في البداية عليك أن تعرف أننا هنا سنرمز للمتجهين برمز المتجه (س) والمتجه (ص)، وسنعرف كيفية تطبيق الضرب الداخلي بين المتجهات.

  • يعرف الضرب الداخلي للمتجهين (س، ص) بأنه حاصل ضرب السينات في حاصل ضرب الصادات.
  • س = (س1 س2 ) ، ص = ( ص1 ص2).
  • س ص = س1 ص1 + س2 ص2 .
  • أما حاصل ضربهما يكون عدد وليس متجه.
  • فقد يسمى الضرب الداخلي بين المتجهات بالضرب القياسي، أو الضرب التقاطعي، أو إيجاد المتجه.
  • إذا كان الضرب الداخلي بين المتجهين يساوي صفر، فإن المتجهين متعامدان أي أن (س×ص)=صفر.
  • وتكون العلاقة بين المتجهين علاقة متعامدة، فمن خلال الضرب الداخلي يمكننا معرفة وإثبات أن المتجهين متعامدان.
  • وفي هذا المثال يمكننا تطبيق قاعدة الضرب الداخلي و معرفة إذا كان المتجهان من متعامدان أم لا: المتجه (س)= (6،3) ، والمتجه (ص)= (2،-4).
  • نطبق قانون الضرب الداخلي لكي نحصل على الناتج النهائي من خلال: س×ص= س1ص1 × س2ص2.
  • س×ص= (-4×3) +(2×6) = صفر، فالمتجهان هنا متعامدان لأن ناتج الضرب الداخلي يساوي صفر.
  • عند الرسم البياني لهذه المتجهات يكون كلا منهما متعامد على الآخر ويكونا زاوية قائمة.
  • المتجهات قياسية وذلك لأنهما كتبا على الصورة الإحداثية.

خصائص الضرب الداخلي

تطبق قاعدة الضرب الداخلي في إيجاد طول المتجهات، وسنتعرف معا على خصائص الضرب الداخلي التي تستخدم غالبا في معرفة طول المتجه.

الخاصية الإبدالية

  • وهو حاصل ضرب السينات في الصادات يساوي حاصل ضرب الصادات في السينات أي أن (س×ص)= (ص×س).
  • أي أن الضرب الدخلي بين المتجهات يعتبر عملية إبدالية.
  • سنقوم بشرح هذه الخاصية من خلال توضيحها بالمثال التالي: إذا كان المتجه س= (3،5) والمتجه ص= (2،1).
  • إذن س×ص= (5×1)+(3×2)=11.
  • ص×س= (1×5)+(2×3)= 11.
  • ومن هنا نستنتج أن الضرب الداخلي بين المتجهات يعد عملية إبدالية.

خاصية التوزيع

  • تتميز خاصية التوزيع في الضرب الداخلي بتوزيع ما هو خارج الأقواس على كلا من طرفين المتجهات بداخل الأقواس.
  • هذا المثال يفسر لنا ما تم إجماله فنجد أن: ع× (س+ص)= ع×س+ع×ص.
  • ومن هنا عرفنا أن خاصية التوزيع من خصائص الضرب الداخلي للمتجهات.

خاصية الضرب في عدد حقيقي

  • هذه الخاصية تختلف عن خاصية التوزيع في أن التوزيع يكون بين المتجهات فقط، ويتوزع المتجه على كل ما هو بداخل الأقواس.
  • أما خاصية الضرب في عدد حقيقي، يوزع العدد الحقيقي على متجه واحد فقط.
  • سنقوم بشرح ما سبق في المثال القادم: 5(س×ص) يطبق توزيع العدد 5 على متجه واحد فقط، ويكون الناتج إذن 5س×ص أو س×5ص.

الضرب في المتجه الصفري

  • في هذه الخاصية إذا ضرب المتجه صفر في أيًا من المتجهين يكون الناتج في كل الأحوال صفرًا.
  • من خلال المثال الآتي سنتعرف على توضيح ما سبق: إذا كان المتجه س = (0،0) و المتجه ص= (4،7)
  • وبتطبيق قانون الضرب الداخلي يكون الناتج س=0+0 و ص=0+0.
  • إذا ناتج ضرب المتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي صفر.

العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه

  • هذه الخاصية تربط بين الضرب الداخلي وطول المتجه.
  • عند ضرب المتجه (س) في نفسه يكون الناتج هو تربيع طول المتجه.
  • ويوضح ما سبق من خلال تطبيق هذا القانون : س×س= |س|².
  • نفرض أن س=5 إذن 5×5=|5|²=25.
  • إذن طول المتجه يساوي 25√=5.

عرفنا من خلال هذا  المحتوى كيفية عمل بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات ، حيث يكون الضرب الداخلي بين متجهين، والخصائص التي يتمتع بها الضرب الداخلي من إبدال وتوزيع و الضرب في عدد حقيقي و الضرب في المتجه الصفري، وتطبيق قانون الضرب الداخلي لإيجاد طول المتجه.

يمكنك المتابعة والإطلاع على المزيد فيما يختص بهذا من خلال موقع الموسوعة العربية الشاملة: