بحث عن المتطابقات المثلثية وأنواعها

هدى عبد السلام 27 يوليو، 2019

عند الـ بحث عن المتطابقات المثلثية يجد البعض منا أن الأمر معقدًا بينما يشعر الآخرون أن الأمر من السهولة بمكان، وهذا يرجع لمدى معرفتنا بمبادئ الرياضيات ولا سيما علم حساب المثلثات، ذلك العلم الذي يتخصص في المثلثات والحسابات الخاصة بها، ويقدم لكم اليوم موقع موسوعة في السطور التالية بحث عن المتطابقات المثلثية، وما يتعلق بها من قوانين.

بحث عن المتطابقات المثلثية وأنواعها

تعريف المثلث triangle

يعرف المثلّث بأنه أحد الأشكال الهندسية الأساسية، كما أنه يعد شكلاً ثنائي الأبعاد، ويتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس، ومن المسلمات والحقائق في المثلثات أن مجموع طول أيّ ضلعين من أضلاع المثلّث يكون دائمًا أكبر من الضلع الثالث، كما أن مجموع زواياه يساوي مائة وثمانون درجة.ومن أنواع المثلّثات طبقًا لأطوال أضلاعها ما يلي:

  •  المثلّث متساوي الساقين.
  • المثلّث متساوي الأضلاع.
  • المثلّث مختلف الأضلاع.
  • المثلّث قائم الزاوية.

كما تنقسم المثلثات إلى عدة أنواع طبقًا لمجموع قياس زواياها على النحو التالي:

  • مثلث حاد الزوايا: والذي يقل قياس الزاوية فيه عن 90 درجة.
  • مثلث قائم الزوايا: والذي يساوي قياس الزاوية فيه 90 درجة.
  • مثلث منفرج الزوايا: والذي يزيد قياس الزاوية فيه عن 180 درجة.

تعريف حساب المثلثات Trigonometry

  • يعد حساب المثلثات  فرع من أفرع الرياضيَّات والذي يهتم بتناول بكل ما له علاقة بالمثلثات مثل حساب المسافات بين الأضلاع وكذلك إيجاد قياس الزوايا، ويعد حساب المثلثات من الأهمية بمكان، حيث أنه يتم استخدامه والاعتماد عليه في أفرع كثيرة من فروع العلم الأخرى مثل الهندسة والألعاب الإلكترونية، وغيرها من العلوم.
  • كما يتصل هذا العلم بدوال الزوايا وهي ظل الزاوية وجيب تمام الزاوية وجيب الزاوية.
  • وعلم حساب المثلثات من أشهر العلوم التي اهتمت بها عدة حضارات مثل الحضارة الصينية والحضارة البابلية والحضارة المصرية القديمة.
  • وتأتي بداية هذا العلم بشكله الحديث في القرن الثاني قبل الميلاد من قِبل عالم إغريقي قام بتنسيق جدول القيم المثلثية، ثم وضع قوانين رئيسية فيه من قِبل علماء هنود.
  • إلى أن جاء مجموعة من علماء العرب في العصور الوسطى والذين وضعوا عدد من النظريات والقوانين في هذا العلم، وفي القرن الـ 16 صاغ العديد من علماء أوروبا مجموعة من القوانين والنظريات فيه، مما أدى إلى ظهور نظريات جديدة فيه كانت أشهرها اللوغاريتمات التي اخترعها جون نابيير وذلك في عام 1614.

تطابق المثلثات

 يوجد حالات تطابق فيها المثلثات، حيث يتطابق المثلثين في حالة تساوي أطوال أضلاعهما التي تتناظر، وبالتالي تساوي قياسات الزوايا المتناظرة فيهما أيضاً.

وتوجد حالات نستطيع من خلالها أن نعرف أن هناك تطابق بين مثلثين، وأولى هذه الحالات هي أن نعلم أن ثلاثة أضلاع من المثلث الأول تماثل الثلاثة أضلاع الأخرى من الثلث الآخر، وفي هذه الحالة يكون المثلثان متطابقان وقياسات زواياهم متطابقة أيضا.

في حالة أخرى عند معرفتنا قياس زاوية وطول الضلعين المجاورين لها في المثلثين -ويكون نفس الزاوية ونفس الأضلاع متساوية في المثلث الآخر- في هذه الحالة يكون المثلثان متطابقان. في الحالة الثالثة إذا تساوى قياس زاويتين وضلع في المثلث الأول، مع قياس زاويتين وضلع متناظرتين في المثلث الثاني، في هذه الحالة يكون المثلثان متطابقان.

تعريف المتطابقات المثلثية

تعرف المتطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية بأنها متطابقات تتألف من دوال مثلثية. وتعد هذه المتطابقات مهمة جدًا حيث أن لها دورًا مهمًا في حل المعادلات الرياضية ولاسيما في معكوس الدالة.

وتدرس المتطابقات المثلثية المثلث المكون من 3 أضلاع ومن 3 زوايا يبلغ مجموع قياساتهم 180 درجة، ويتم الاستعانة بتلك المتطابقات في المتسلسلات النهائية وعلم التفاضل والتكامل واللوغاريتمات، فضلًا عن دخولها في مختلف فروع علم الرياضيات.

المتطابقات المثلثية الأساسية

  • الظل: ورمزه (ظا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: ظا س= الضلع المقابل للزاوية س÷ الضلع المجاور للزاوية س= جا(س)/ جتا (س).
  • القاطع: ورمزه (قا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: قا س= وتر المثلث ÷ الضلع المجاور للزاوية س= 1÷ جتا س.
  • قاطع التمام: ورمزه (قتا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: قتا س= وتر المثلث ÷ الضلع المقابل للزاوية س= 1÷ جا س.
  • الجيب: ورمزه (جا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: جاس= الضلع المقابل للزاوية س÷ وتر المثلث.
  • جيب التمام: ورمزه (جتا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: جتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ وتر المثلث.
  • ظل التمام: ورمزه (ظتا)، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية فهو: ظتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ الضلع المقابل للزاوية س=1÷ ظا س= جتا (س)/ جا (س).

أنواع المتطابقات المثلثية

المتطابقات المثلثية الأساسية تشمل الآتي:

مُتطابقات ناتج القسمة وهي:  

  • ظا س = جا س ÷ جتا س.
  •  قتا س= جتا س ÷ جا س.

متطابقات الضرب والجمع

  • جاس جا ص= ½ [جتا(س-ص)- جتا (س+ص)]
  • جتاس جتا ص= ½ [جتا(س-ص)+ جتا (س+ص)]
  • جاس جتا ص= ½ [جا(س+ص)+ جا (س-ص)]
  • جتاس جا ص= ½ [جا(س+ص)- جا (س-ص)]

متطابقات الجمع والطرح

  • جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص).
  • جتا (س+ص) = جتا (س) جتا (ص) – جا (س) جا (ص).
  • جتا (س-ص) = جتا (س) جتا (ص) + جا (س) جا (ص).
  • ظا (س+ص) = ظا (س) + ظا (س)/ (1-(ظا س ظا ص).
  • ظا (س-ص) = ظا (س) – ظا (س)/ (1+(ظا س ظا ص).

 مُتطابقات مَقلوب العدد وتشمل: 

 قتا س= 1÷ جا س. قا س= 1÷ جتا س.

 ظتا س =1÷ ظا س.

 مُتطابقات فيثاغورس و تشمل:

  • جتا 2 س+ جا 2 س= 1
  •  قا 2 س – ظا 2 س= 1 
  • قتا 2 س – ظتا 2 س= 1

متطابقات الزوايا المتكاملة

  • جا س= جا (180-س).
  • جتا س= – جتا (180-س).
  • ظا س= – ظا (180-س).

متطابقات الزوايا المتتامة

  • جا (90-س)= جتا س.
  • جتا (90-س)= جا س.
  • ظا (90-س)= ظتا س.
  • ظتا (90-س)= ظا س.
  • قا (90-س)= قتا س.
  • قتا (90-س)= قا س.

متطابقات عكس الزاوية

  • جا (-س)= – جا س.
  • جتا (-س)= جتا س.
  • ظا (-س)= – ظا (س).

متطابقات نصف الزاوية وتشمل

  • جا (س/2)=± ((1-جتا س)/2)√
  • جتا (س/2)=± ((1+جتا س)/2)√
  • ظا (س/2)=± ((1-جتا س)/(1+جتا س))√= جا س/(1+جتا س)= 1-جتا س/ جا س= قتا س – ظتا س.
  • ظتا (س/2)=± ((1+جتا س)/(1-جتا س))√= جا س/(1-جتا س)= 1+جتا س/ جا س= قتا س+ظتا س.

متطابقات ضعف الزاوية وتشمل

  • جا 2س= 2 جاس جتاس
  • – جتا 2 س= جتا² س- جا² س.
  • – ظا 2س = 2 ظاس/ (1-ظا² س)
  • – ظتا 2 س=(ظتا²س-1)/2 ظتاس.

 نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس من أشهر الظريات في علم حساب المثلثات، وهي قانون يمكن من خلاله حساب طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلّث القائم.حيث يكون مربع طول الوتر مساوياً لمربع طول الضلع الأوّل مضافاً إلى مربّع طول الضلع الثاني، ويتم التعبير رياضيًا عن قانون فيثاغورس بالشكل الآتي: 

مربّع طول الوتر = مربّع طول الضلع الأول في المثلث + مربّع طول الضلع الثاني في المثلث.

ويعد عكس ما قيل في نظرية فيثاغورس صحيح أيضا، حيث إن المثلث يكون قائم الزاوية إذا كان المثلث فيه مربع الضلع الأكبر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين في المثلث، كما أن قياس الزاوية الخارجية في المثلث يساوي مجموع قياس الزاويتين الداخليتين عدا المجاورة لها، أي الزاويتين الآخرتين في المثلث، لا الزاوية المجاورة لها.

استخدامات المتطابقات المثلثية في الحياة

بخلاف استخدام المتطابقات المثلثية في علم الرياضيات وتدريسها في المناهج الدراسية، فهناك مجموعة من المجالات التي يدخل فيها هذا العلم ومنها:

علم الفلك

  • يُعد علم الفلك من أول العلوم التي استعانت بحساب المثلثات، وذلك قبل القرن الـ 16 من أجل حساب مواقع النجوم والكواكب.
  • كما استُخدم في معرفة المسافة التي تفصل بين الكواكب، وبين الأرض والشمس وبين الأرض والقمر، وكذلك حساب نصف قطر الأرض.

العمارة والهندسة

  • أو علم الهندسة المعمارية، حيث يتم الاستعانة بحساب المثلثات في بناء المنازل من أجل قياس الأعمدة وزوايا جدران تلك المنازل قبل بناءها.
  • وتُعد هذه الخطوة من أهم خطوات البناء التي لا يمكن الإغفال عنها حتى لا تنهار المنازل والأبنية أو تتعرض جدرانها للتشوه.
  • كما أن المهندسون يستعينون بعلم حساب المثلثات في بناء أبراج الدعم وتحديد ارتفاعها وقياس بينهما ومعرفة طول الكابلات وتحديد قوة الجسر.
  • وخلال عمليات البناء يتم الاستعانة بهذا العلم في تحديد الارتفاع المناسب للسلم والمنحدر الذي يتناسب مع السقف، وذلك من خلال وضع جدار منحني بطريقة ما صحيحة.

مجال النجارة

  • يستعين النجارون بعلم حساب المثلثات خلال قطع الزوايا من أجل معرفة قياسها أو تحديد الخطوط المجاورة.

مجال الطيران

  • في مجال الطيران يتم الاستعانة بعلم حساب المثلثات تحديد اتجاه الرياح وسرعتها بعد تحديد سرعة كلًا من الطائرة والرياح.
  • فباستخدام هذا العلم يمكن معرفة جانب المثلث الثالث والذي ستسير فيه الطائرة في مسارها الصحيح.

قياس ارتفاعات المباني

  • حيث يُستخدم علم المثلثات في تحديد ارتفاعات الجبال والمباني.

علم الجريمة

  • من أهم استخدامات علم حساب المثلثات تحديد مسارات وزوايا القذائف التي يتم إطلاقها في مسارح الجرائم.
  • كما يتم الاستعانة به في حوادث السيارات من أجل معرفة أسباب حدوث التصادم بالتقدير.

مجال الملاحة

  • يتم الاستعانة بعلم المثلثات في مجال الملاحة من أجل تحديد اتجاه وضع البوصلة والانتقال بين مختلف الاتجاهات من أجل تحديد المواقع.
  • كما يتم استخدامه أيضًا في رؤية الأفق وحساب المسافات.

علم الأحياء البحرية

  • يستفيد علم الأحياء البحرية من علم حساب المثلثات عن طريق استخدام النماذج الرياضية ووظائف المثلثات في معرفة مدى عمق ضوء الشمس الذي تحتاج إليه الطحالب البحرية من أجل القيام بعملية البناء الضوئي.
  • ويستعين علماء الأحياء البحرية بهذا العلم أيضًا في فهم سلوكيات الحيوانات البحرية الكبيرة مثل الحيتان وتقدير حجمها.

الصناعات التحويلية

  • تُستخدم العلاقات المثلثية في تحديد أحجام الأجزاء الميكانيكية وزواياها والتي يتم استخدامها في الأدوات والآلات التي تقوم بتصنيع جميع الأشياء مثل السيارات وغيرها.
  • وتقوم شركات السيارات باستخدام هذا العلم في تحديد أحجام جميع أجزاء السيارات بشكل صحيح خلال عملية تصنيعها والتحقق من عملها معًا بشكل آمن.
  • ويستعين أيضًا العاملون بمهنة الخياطة بالعلاقات المثلثية الأساسية في تحديد زوايا السهام لحياكة شكل ما لقميص أو تنورة.

ومن الاستخدامات الأخرى للمتطابقات المثلثية:

  • أنظمة الأقمار الصناعية.
  • إنشاء الخرائط.
  • يُستخدم في علم التفاضل والتكامل.
  • يُستخدم في معرفة مد المحيطات وارتفاع أمواجها.
  • يتم وصف الضوء وموجات الصوت عبر الدوال المثلثية الأساسية مثل جيب التمام والجيب.
  • يتم استخدامه في دراسة ترتيبات الذرة في الصلب البلوري.
  • علم الزلازل.
  • التصوير الطبي.
  • تطوير اللعبة.
  • رسومات الحاسوب.
  • نظرية الأعداد.
  • الإحصاء.
  • الإلكترونيات.
  • الصوتيات.
  • البصريات.

 

وبهذا نكون قد وصلنا إلى ختام مقالنا عن بحث عن المتطابقات المثلثية والذي تناولنا من خلاله تعريف المثلث وحساب المثلثات وتطابق المثلثات والمتطابقات المثلثية وأنواعها واستخداماتها في الحياة.

بحث عن المتطابقات المثلثية وأنواعها

الوسوم